1.4.05

4º Sem. (2004) Estatística

INTRODUÇÃO
Podemos pensar na estatística com a Ciência que tem por objetivo organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos realizados em qualquer área. Podemos dividir a estatística em 4 áreas: Amostragem, Estatística Descritiva, Probabilidade e Inferência Estatística.

==> CONEITOS BÁSICOS:
1. DADOS :: os dados são coletados, analisados e interpretados.
2. ELEMENTOS :: unidades sobre os quais os dados são colocados
3. POPULAÇÃO : é o conjunto de elementos, tendo pelo menos, uma variável comum observável.
4. AMOSTRA :: é qualquer subconjunto de elementos da população
"n" elementos = população

==> VARIÁVEIS:
Características de interesse, do elemento a ser analisado. Exemplo:
* Pessoa - peso, sexo, cor da pele
* Objeto - qualidade (com ou sem defeito)

Uma variável pode ser classificada das seguintes formas:

1. Qualitativa: Apresentam atributos ou qualidades
1.1. Qualitativa Nominal: qualidade sem ordenação (ex., sexo da pessoa)
1.2. Qualitativa Ordinal: apresenta uma ordenação (ex., nível escolar - resposta é número)

2. Quantitativa: Apresentam números resultantes de uma contagem ou mensuração
2.1. Quantitativa Discreta: Conjunto finito, resultante de uma contagem (números inteiros, ex., nº de filhos)
2.2. Quantitativa Contínua: os valores formam um intervalo de números reais e que resultam, normalmente, de uma mensuração.

==> ESTATÍSTICA DESCRITIVA:
Pode ser definida como um conjunto de técnicas destinadas a descrever e resumir os dados a fim de que possamos tirar conclusões a respeito de características de interesse.

==> TABELAS E GRÁFICOS:
O objetivo principal da descrição de dados através de tabelas e gráficos é resumi-los de modo que as interpretações sejam mais rápidas, eficientes e seguras.

==> TABELAS:
1. Tabelas de dados brutos:
.... São aquelas que ainda não foram numericamente organizados, ou seja, é a tabela inicial dos dados.

2. Tabelas de distribuição de freqüências: são aquelas que apresentam os dados juntamente com as freqüências correspondentes.

==> TIPOS DE FREQUÊNCIAS:
1. Freqüência (fi)
... é o número de repetição de um valor individual ou de uma classe de valores da variável.

2. Freqüência Relativa (fr)
... representa a proporção de observações de um valor individual ou de uma classe em relação ao número total de observações.

3. Freqüência Relativa Percentual (fr%)
fr = fi / n . 100
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AULA 2

==> GRÁFICO DE BARRAS: Para Variáveis Qualitativas.

==> VARIÁVEL QUALITATIVA:
Muitas vezes, há vantagem em resumir os dados originais agrupando-os em classes. Quando a variável objeto de estudo for CONTÍNUA, será sempre conveniente agrupar os valores observados em intervalos de classes. Se por outro lado, a variável for DISCRETA e o número de valores representativos dessa variável for muito grande, recomenda-se o agrupamento dos dados em classes com intervalo.

Roteiro para elaboração de uma tabela de freqüência com dados agrupados em classes com intervalo:
1. Determine a amplitude total do conjunto de dados
At: amplitude total
At = maior valor - menor valor

2. Determine o número de classes
k: classes
n: número total de elementos
k = raiz quadrada de "n"

3. Determine a amplitude da classe
h = At / k

4. Determine os limites das classes, exemplo 2--4
Li: limite inferior
Ls: limite superior
Xi: ponto médio

Xi = (Li + Ls) / 2
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AULA 3

==> POLIGONO DE FREQUÊNCIA
Unido por linhas retas, os pontos médios das bases superiores dos retângulos do histograma, obtem-se outra representação dos dados, denominada Polígono de Frequência.

==> DUPLA CLASSIFICAÇÃO
..... É muito frequente nas Ciências Sociais o interesse em verificar se duas variáveis qualitativas se apresentam assossiadas num certo conjunto de elementos. Uma distribuição conjunta de frequências de duas variáveis pode satisfazer esse objetivo. As distribuições conjuntas de frequências geralmente são apresentadas nas chamadas Tabela de Contigência ou Tabela de Dupla Entrada.
..... Para construirmos uma distribuição conjunta de frequências, devemos observar simultaneamente as duas variáveis nos elementos em estudo.

Exemplo: construa uma tabela de Dupla Entrada para as variáveis Estado Civil e Grau de Instrução (tabela de ddos brutos para exercício).

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AULA 4

"EXEMPLO" - Dados Brutos
A tabela de dados brutos abaixo mostra as notas finais dos alunos de três turmas.
Notas da Turma:
A ... 4 ... 5 ... 5 ... 6 ... 6 ... 7 ... 7 ... 8
B ... 1 ... 2 ... 4 ... 6 ... 6 ... 9 ... 10 ... 10
C ... 0 ... 6 ... 7 ... 7 ... 7 ... 7,5 ... 7,5

==> MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
.....Uma medida de tendência central ou de posição de um conjunto de dados mostra a valor em torno do qual se agrupam as observações. As principais medidas de tendência central são a média, a mediana e a moda.

==> MÉDIA ARITIMÉTICA (x)
Dados brutos
x
= somatória de Xi (de 1 até n) onde Xi=x1, x2, ..., Xn

Dados em tabela de frequência
x
= somatória Xi.Fi / n, onde Xi é o Ponto Médio das classes.
Ponto Médio = Limite superior menos Limite inferior dividido por 2.

==> MEDIANA (Md)
..... Por definição, a mediana de um conjunto de dados é o valor que divide esse conjunto de dados ao meio. É conhecida como uma medida de posição e sua vantagem é que não é influenciada por valores externos pois é uma medida robusta.

Passos para obtenção da MEDIANA.
- ordenar o conjunto em dados crescentes.
- se n for PAR, a mediana será a média aritmética dos valores que ocupam as posições n/2 e n/2+1
- se n for ÍMPAR, a Mediana será o valor que ocupa a posição n+1/2

==> MODA (Mo)
..... Por definição, a moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior frequência.

Calcule a Média, Mediana e Moda do "EXEMPLO".

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AULA 6

==> MEDIDAS DE VARIABILIDADE - Dispersão
..... As medidas de dispersão, como o próprio nome diz, avaliam a dispersão do conjunto de dados em análise.
..... As principais medidas de dispersão são a Variância e o Desvio-Padrão. Tanto a Variância que fornece informações complementares à informação contida na Média Aritmética. Eles avaliam a dispersão dos dados em torno da Média.

==> Variância (S2)

Para Dados Brutos
.... S2 = somatória de (Xi menos Média) / n-1, onde:
S2
é S ao quadrado, a notação para Variância.
Xi são as observações
n é o número de observações da amostra

Para Dados em Tabela de Frequência
.... S2 = somatória de (Xi menos média).frequência / n-1, onde:

==> Desvio-Padrão (S)
..... É obtido através da raiz quadrada da Variância.

==> Coeficiente de Variação de Pearson (CVp)
Temos uma outra medida de dispersão denominada coeficiente de variação, cujo cálculo resulta da comparação entre o DESVIO PADRÃO e a média.
........... CVp = S/x . 100

Calcule a Variância (S2), o Desvio-Padrão (S) e o Coeficiente de Variação (CVp) das turmas do "EXEMPLO".

Bibliografia:
- "Estatística aplicada às Ciências Sociais", de Barbetta, PA
- "Estatística aplicada às Ciências Humanas", de J. Levin
- "Estatística Básica", de Toledo & Ovalle, Ed. Atlas
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ESTATÍSTICA - Parte do II do mesmo Semestre
... mas com professora diferentes: SILVANA

Exercícios Resolvidos (só os que eu achei mais interessantes):

==> Probabilidade
Exemplo: Um baralho de 52 cartas.
a) P (rei) = 4 / 52

1. Casal quer ter 2 filhos. Pode ser homem (H) ou mulher (M).
Primeiro, faça todas as combinações possíveis de sexo desses 2 filhos, ou seja, podem ser: Conjunto X = {HH, HM, MH, MM}OBS: esse nome "conjunto X", fui eu, Mariana, quem inventou. Não tem o menor fundamento nomeclativo matemático. Não vai por isso na prova!

a) P (1° H) = 2 / 4. Simplificando = 1 / 2Prob do 1° ser homem = olhando no conjunto X que tem
4 possibilidades, percebe-se que apenas 2 eventos tem como exemplo do primogênito SENDO homem, ou seja, 2 eventos em 4 possibilidades.

b) P (HH) = vendo no conjunto X, há apenas 1 evento em 4 de 2 filhos-homens, ou seja, a resposta é 1 / 4.
c) P (H?) = não importando a ordem, vemos que no conjunto x temos 3 eventos em 4. Resposta = 3 / 4

5.
Temos 12 peças sendo 4 defeituosas(D) e 8 perfeitas(P). Retira-se 2.
Não esqueça: primeiro faça o conjunto das possibilidades,
o Conjuno X.x = {DD, DP, PD, PP}a) P (DD) = prob de 2 defeituosas. A chance de a primeira peça ser retirada é 4 / 12. Depois de retirada essa, restam apenas 11 peças, e não mais 12 como no começo. Ou seja, ao retirar a 2ª peça, temos apenas 3 chances de retirar uma peça defeituosa das 11 peças que restaram. Assim, para fazer P (DD), multiplicação!
P (DD) = 4 / 12 . 3 / 11 = 12 / 132 = 0,91
b) P (D?) = prob de ao menos UMA ser defeituosa.Isso quer dizer que não interessa a ordem e nem o que
sejam as outras peças. O importante é que pelo menos UMA, UMINHA QUE SEJA, tem que ser defeiutosa.
Se todas foram defeituosa, isso nõa interessa. Enfim, olhando no conjunto X, vemos 3 eventos em
4 possibilidades. E os eventos são:
P (DD) + P (DP) + P (PD)
(4 / 12 . 3 / 11) + (4 / 12 . 8 / 11) + (8 / 12 . 4 / 11)
0,091 + 0,245 + 0,245 = 0,58
6.
c) Sair cara em três moedas. Cara = C e Coroa = O.Primeiro, o conjunto
X = {CCC, CCO, COC, COO, OOC, OCO, OCC, OOO}
Ou seja, em 7 eventos do total de 8 saiu cara. Reposta = 7 / 8
d) Sair 2 copas = 13 / 52 . 12 / 51 = 156 / 2652 = 0,0588

8.
Chance de resolver um problema: aluno X = 3 / 5 (ou 0,6) e aluno Y = 4 / 7 (ou 0,57)

P = P (X) + P (Y) - P (X . Y)
P = 0,6 + 0,57 - (0,6 . 0,57)
P = 1,17 - 0,34 = 0,83

9.
Se P (A) é 0.2 , P (B) é x e P (A U B) = 0,6. Calcule x quando:

a) Mutuamente exclusivos. Isto é, quando a intersecção é igual a ZERO.
P (A U B) = PA + PB - P (A intersecção B)
0,6 = 0,2 + x + 0
x = 0,4

b) Independentes. Isto é, intersecção se resolve com MULTIPLICAÇÃO.
P (A U B) = PA + PB - P (A . B)
0,6 = 0,2 + x + (0,2 . x)
0,6 - 0,2 = x - 0,2x
0,4 = 0,8x
x = 0,5

11.
Escola com 40% homem. 20% deles nunca viu o mar e 50% das mulheres também nunca viram.

Primeiro, construa a tabela:
...... Viu .. .. Nunca
H ..0,32 .. .. 0,08 ... 0,4
M .. 0,3 ... .. 0,3 ..... 0,6
..... 0,38 .. 0,62 ..... 1,0
a) Homem e que nunca viu o mar = P (H intersec NV) = 0,08
b) Grupo com mulher ou com aqueles que nunca viram o mar
P (M U NV) = P(M) + P(NV) - P (M intersecção NV)
P = M (0,3 + 0,3) + NV (0,3 + 0,08)
OBS: o valor "0,3" se repente tanto do lado das Mulheres como do lado do que Nunca Viram. Quando isso aconetece, elimine um deles. Por isso que no final da fórmula de UNIÃO tem aquele parte "menos a intersecção de um pelo outro".
Daí, vai ficar assim:
P = 0,3 + 0,3 + 0,08
Reposta: P = 0,68

12.
Classe com 4 meninos(M) reprovados(R) e 8 aprovados(A) e com 6 meninas(F) reprovadas e 14 aprovadas.
Primeiro, construa a tabela:
.......A ... ... R
m ... 8 ... ... 4 ... 12
f ... 14 ... ... 6 ... 20
..... 22 ... .. 10 .. 32

a) P (A U M°) = isto é, união dos aprovados com o complementar de masculino (ou seja, feminino).
P (A U M°) = PA(8 + 14) + PF(14 + 6)
Eliminando um "14" pois repete.
Daí fica assim:
P (A U M°) = 8 + 14 + 6 = 28
Para conseguir o resultado entre 0 e 1, divide o resultado pelo total.
Total = 32, então, 28 / 32 = 0,875
Reposta: P (A U M°) = 0,875

13.
Peças sendo 0,1 defeituosas(D), 0,2 recuperáveis(R) e 0,7 perfeitas(P). Se retirar 2:
a) P (DD) = 0,1 . 0,1 = 0,01
b) P (P?) = ou seja, ao menos UMA ser perfeita.
OBS: essa representação (P?) fui eu, Mariana quem inventou. Não existe.
Não esqueça: construa o conjunto de TODAS as possibilidades:
X = {DD, DP, DR - RR, RP, RD - PP, PR, PD}
Visualizando, notamos que há 5 eventos onde PELO MENOS uma peça é perfeita.Os eventos são: DP, RP, PP, PR, PD. Para resolver, basta multiplicar em cada o valor de sua probabilidade que foi dado no enunciado do exercício e depois somar cada multiplicação de cada par. Enfim, para falar CURTO E GROSSO é assim: no evento DP (defeituosa e perfeita), sabemos (porque foi dado no enunciado) que a prob. de D = 0,1 e de P = 0,7. Daí é só multiplicar um com o outro, ou seja, 0,1 x 0,7. Cada par vai dar um valor. Depois, soma os pares e fim!!! Resolvendo:
P (P?) = P (DP) + P (RP) + P (PP) + P (PR) + P (PD)
P (P?) = (0,1 . 0,7) + (0,2 . 0,7) + (0,7 . 0,7) + (0,7 . 0,2) + (0,7 . 0,1)
P (P?) = 0,0,7 + 0,14 + 0,49 + 0,14 + 0,07
Resposta: P (P?) = 0,91

15.
Dado a tabela de filmes comédia, romance e policial e dados homens e mulheres. Antes de iniciar a resolução do exercício, some todos os valores, ou seja, some todos os dados de comédia, todos de policial, etc.
c) Prob. um homem(H) alugar um filme ou prob. de um filme alugado seja comédia(C).
P (H U C) = P(H) + P(C) - P(H intersecção C)
Primeiro, note que o total de TUDO é 835.
Segundo, note que o total de homens é 136 + 92 + 248 = 476. Se dividido por 835 = 0,570
Terceiro, note que o total de romance é 92 + 195 = 287. Se dividido por 835 = 0,344
Terceiro, note que o número que repete é 136.
Se dividido por 835 = 0,110. Elimine-o UMA VEZ apenas.
P (H U C) = 0,570 + 0,344 - 0,11
Resposta: 0,8

d) O filme ser policial dado que foi alugado por um homem.
P (P H) = P (P intersecção H) / P (H)
P (P H) = 0,297 / 0,570
Resposta = 0,521

2 Comments:

At 16 de novembro de 2004 18:28, Anonymous Anônimo said...

Mariana, sem vc nada seriamos... bom trabalho!!!

 
At 21 de dezembro de 2009 20:11, Anonymous Anônimo said...

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